Сегодня все прогрессивное (без шуток) человечество отмечает «День числа пи» (вы не отмечаете?). Сегодня 14 марта, по-западному «3.14». И само это число, и числа вообще действительно несут в себе нечто магическое как в плане восприятия, так и в плане реального воздействия на окружающий нас мир.
Некто Гаусс назвал математику «царицей наук». Кто-то (не помню) назвал ее «универсальным языком Вселенной». И хотя склонные к гуманитарным дисциплинам люди математику обычно и не любят, и не понимают, тем не менее даже для них она может быть не только полезной, но и интересной…
Когда-то я выписал себе в тетрадь (а у меня были тетради с самодельными конспектами многих наук еще в средних классах, пример для физики есть на сайте) 128 знаков числа «пи». Просто так, «из уважения» (для числа «е» нашел аж 500!). На практике мы все привыкли использовать значение «3.14», а калькуляторы обычно выдают значение «3.1415926». Но на самом деле этот ряд бесконечен, в чем и состоит одна из тайн этого числа.
Отношение длины окружности к диаметру (это и есть число «пи») невозможно выразить ни конечной дробью, ни даже какой-то сложной формулой. В математике есть понятие «иррациональные числа», которые можно выразить с помощью последовательности радикалов и которые тоже имеют бесконечное число знаков. Например, «корень из двух» — это иррациональное число. Таким же является значение синуса 60 градусов, равное «корень из 3, деленный на 2». Кстати, многие синусы являются, как ни удивительно, именно иррациональными числами. Посмотрите эту страницу — удивитесь!
Однако, есть в математике и другой тип «бесконечных» чисел: они называются трансцендентными. И их нельзя изобразить через подобные арифметические выражения! Самые известные из них — это основание натуральных логарифмов «е» и наше любимое «пи». Но надо заметить, что для числа «е» существует выражение в виде бесконечной суммы, которая достаточно быстро сходится к числу заданной точности. То есть, можно вычислить значение «е» с нужной погрешностью едва ли не вручную, а уж по программе — элементарно, даже на калькуляторе (можно скачать исходники программ для компьютера).
А вот с числом «пи» все гораздо сложнее. Для него есть немало подобных рядов, но они ОЧЕНЬ медленно сходятся! То есть, речи нет, чтобы вычислять значение «пи» вручную, да и на ЭВМ не просто. Но удивительно то, что еще в прошлых веках люди это делали! Тратили буквально годы и «тонны бумаги». Причем стоило ошибиться в одном знаке — и вся дальнейшая работа была ошибочной, ибо вычисления проводились по рекуррентным формулам.
Для практики есть интересный способ приближения числа «пи». Это — дроби. На странице вычисление знаков «пи» есть примеры таких дробей. Самая простая (и самая грубая) — это известная еще со школы «22/7». Но есть и достаточно точные (хоть и более сложные) варианты…
В прошлом году я писал про текстовый файл размером гигабайт, где содержится ровно миллиард знаков числа пи. К сожалению, он даже в архивном виде столь огромен, что выставить его на своем сайте я не могу. Но вряд ли будет много желающих его иметь. Зато я вот «вытянул» оттуда первый миллион знаков, и этот файл вполне можно скачать на вышеуказанной странице с дробями для вычисления «пи».
Так вот, ряд цифр «пи» обладает интересными свойствами. Например, все цифры там встречаются хоть и непредсказуемо, но с равной вероятностью. Это свойство используется для получения псевдослучайных чисел и даже может быть использовано для гадания (как гадают по книгам). 🙂
Но интересно другое. Интересен сам факт того, что ряд «пи» заведомо бесконечен, а задача «квадратуры круга» не имеет решения! Иначе говоря, невозможно циркулем и линейкой нарисовать квадрат, равный по площади данному кругу. Что это значит с философской точки зрения? Что наша Вселенная не совсем трехмерна! Вряд ли я смогу кратко и доступно объяснить, почему делаю такой вывод, но я его делаю. И советую любознательному читателю самому поразмыслить на эту тему… Комментарии приветствуются!
Вообще же число «пи» используется вовсе не только в геометрии, на нем стоят многие разделы математики и физики с астрономией. Жаль, конечно, что оно так трудно вычисляется на «бытовом» уровне. И дело не в том, чтобы считать с его помощью точно (знаки и так известны), дело в том, что составить оптимальный алгоритм расчета такого числа — само по себе интересная задача. Для числа «е» все легко (см. ссылку выше), а вот тут почему-то сложно. Кстати, не является ли эта сложность тоже каким-то «тайным знаком»?
О математике я могу писать долго, но это все же не тема для блога. Профессиональным математиком была моя бабушка. Хотя умерла она достаточно рано, а я сам был «врожденным химиком», тем не менее волшебство этой науки я вполне ощущал и осознавал. А некоторые области математики были моими конкретными серьезными увлечениями даже с собственными «открытиями» («изобретениями»). Но об этом уже в другой раз, если кому интересно…
Пока же поздравляю всех с неофициальным праздником! И желаю всем уметь замечать чудо в привычном. 🙂 Ибо мир полон чудес…